Gravitación Universal

El genial y peculiar Sir Isaac Newton colmó una trayectoria iniciada por Copérnico y continuada por Kepler, y Galileo (fundamentalmente) en una síntesis titánica que reunía 'de una sola tacada' fenómenos físicos tan aparentemente dispares como los del Cielo y los de la Tierra. Su reconocimiento a los científicos (gigantes) que le precedieron, lo plasmó en la famosa frase: 'Si he

conseguido ver más lejos que mis antepasados, es porque he andado subido sobre hombros de gigantes'. Si Kepler había fundamentado la cinemática de los Cielos, Newton sentaría su dinámica.

La secuencia de su razonamiento era el siguiente:

I. Sobre los planetas, deben actuar una fuerza resultante neta NO equilibrada, ya que si no, los planetas seguirían una trayectoria rectilínea (ley de inercia).

II. La anterior fuerza, cualquiera que sea su magnitud o su naturaleza, debe tener una dirección constantemente dirigida hacia el centro de la trayectoria (fuerza central). La razón que dio Newton fue que de este modo, se cumple la 2ª ley de Kepler

Veamos estas afirmaciones utilizando un poco de terminología matemática moderna.

EL MOMENTO ANGULAR

Se define la magnitud MOMENTO ANGULAR, L , de una partícula como el Momento de su cantidad de movimiento:

La segunda ley de Newton establecía que: Σ F = dp/dt para los movimientos de traslación. De modo similar hay una ley parecida para las rotaciones (como la de los planetas), pero que implica al Momento Angular y que vamos a deducir ahora.

Para hallarla derivamos L:

que es una expresión análoga a la segunda Ley de Newton de la traslación (donde M representa el vector Momento de la fuerza respecto de un punto).

Lógicamente, de la última ecuación obtenida, se deduce que si el Momento de las fuerzas es nulo, la derivada del Momento angular ha de ser cero, y por lo tanto, el momento angular ha de conservarse. Esto es, si M = 0

En efecto, si admitimos que las órbitas son circulares (o elípticas) y ya que la fuerza que actúa sobre el planeta es central, se concluye que M ha de ser cero (ya que lo es el producto vectorial que lo define al ser el vector de posición y la fuerza que mueve al planeta de igual dirección). Por lo tanto, L se ha de conservar tanto en módulo como en dirección.

• Que la dirección y sentido del Momento Angular se conserve, significa que la trayectoria planetaria ha de ser plana (esto es, en un mismo plano).

• Que el módulo del Momento Angular se conserve, acarrea la demostración de “la ley de las áreas” de Kepler.

En efecto, si la partícula se mueve desde la posición 1 a la posición 2, recorre en un intervalo de tiempo dt, un arco de tramo dr. El área barrida por el radio vector será:

o lo que sin duda es lo mismo:

es decir, “el área barrida por el radio vector en cada unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante"; esto es, el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
En realidad, una demostración más purista de esta ley de Kepler de las áreas exige la utilización de las llamadas coordenadas polares y su inclusión en la conservación del momento angular, que aunque no es complicado, lo evitamos para no alargar en exceso este tema.
Igualmente, haciendo uso de esta ley de 'conservación del momento angular' puede demostrarse (y se deja como ejercicio) que la velocidad de un planeta en el perihelio es siempre mayor que en el afelio.
La que se denominó ley de la gravitación universal de Newton, suponía que la fuerza gravitatoria era atractiva, pero eso NO significaba que tal fuerza fuese la responsable del movimiento planetario observado y de las leyes de Kepler. Simplificando el método usado por Newton, éste usó las leyes de Kepler para obtener su ley de la gravitación.
Supongamos ahora un planeta (de masa m) girando alrededor del Sol (de masa M). Para él podríamos plantear las siguientes ecuaciones:

esto es, la fuerza gravitatoria debería variar con el inverso del cuadrado de las distancias, siendo m la masa del planeta.

Por otro lado, según la tercera ley de Newton, podremos escribir que

ya que K · M = cte. Siendo G = 6,67·10^-11 N·m/Kg² la conocida como “constante de la gravitación Universal”.

La expresión anterior nos da EL MÓDULO de la fuerza gravitatoria, la cual, es siempre atractiva

ente dos masas cualesquiera situada a una cierta distancia. Además es una fuerza central (y como veremos, conservativa), esto es, su dirección pasa por el centro que une ambos cuerpos.

De forma más general, si consideramos dos cuerpos de masas m1 y m2 cuyos centros C1 y C2 están separados una distancia r y suponemos que ur es un vector unitario en la dirección de la recta que pasa por C1 y C2 y cuyo sentido es de C1 hacia C2, la fuerza con que el cuerpo de masa m1 atrae al de masa m2 la podemos escribir:

La fuerza gravitatoria es una fuerza central, es decir, la fuerza actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. Depende de la distancia entre ambos cuerpos. Es además una fuerza conservativa.

Cuestiones

1.- El sol, visto desde la tierra, se mueve más rápidamente contra el fondo de estrellas en invierno que en verano. Sobre la base de este hecho y de las leyes de Kepler, ¿qué puede decirse acerca de la distancia relativa de la Tierra al Sol durante estas estaciones? ¿y de la duración de las estaciones en los distintos hemisferios de la tierra?

2.- Marte posee un satélite con un período de 460 minutos y que describe una órbita con un semieje mayor de 9,4 megamétros. ¿Cuál es la masa de marte?