Energía potencial gravitatoria

La fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa. Además, lo hemos recordado en el tema 0 de estos apuntes. Como todas las fuerzas de estas características, llevará asociada una “Energía Potencial”, de modo que el trabajo entre dos puntos sea igual a menos la variación de energía entre esos dos puntos:

W2,1 = U1 − U2 =− ΔU

Vamos a determinar el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover una masa desde un punto 1 a otro punto distinto 2. Realmente, cualquier desplazamiento se puede considerar como la composición de dos: uno paralelo a la dirección del campo y otro perpendicular a la dirección del mismo. Ahora “el problema” para ese cálculo del trabajo reside en que la fuerza que actúa sobre la masa “m” NO es constante, pues depende de las distancias, y éstas cambian conforme sucede el desplazamiento.

Sólo se realiza trabajo en el tramo que es paralelo al campo, mientras que el trabajo es nulo en el trayecto en el que el desplazamiento es perpendicular al campo.

Hay que tener presente, que la primera expresión nos determina la VARIACIÓN de energía potencial entre dos puntos, por lo que si se quiere asignar valores absolutos a la energía potencial de un cuerpo en un determinado punto del campo, será necesario establecer un valor de referencia. Este valor de referencia PUEDE SER CUALQUIERA.
Hasta este momento se usaba el criterio de que la energía potencial de un cuerpo era cero en la
superficie de la Tierra. Vamos a llamar a éste el criterio 1. Como veremos seguidamente, ni es el único criterio, ni muchas veces es el mejor.

Criterio 1: La energía potencial de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra es nulo.

En este caso, si consideramos el punto 1 en la superficie de la Tierra, el convenio anterior nos lleva a escribir que: U1 = 0 cuando r1 = RT queda:

Con lo que la energía potencial de un cuerpo a una distancia r del centro de la Tierra será:

sustituyendo r = RT + h y G· MT = g0· R2 queda:

Criterio 2: La energía potencial gravitatoria de un cuerpo situado en el infinito es nula.

En este caso, escribiremos: U1 = 0 cuando r1 = esto es:

El último criterio es el que generalmente se adopta, y se hace extensivo a dos masas cualesquiera, siendo entonces la expresión de la energía potencial gravitatoria del tipo:

De esta expresión, y del criterio seguido para ella, se deducen algunas cosas interesantes:

• Que a cada posición relativa de dos masas corresponde una energía potencial:

• Que a la posición infinito corresponde una energía potencial nula.

• Que la energía potencial gravitatoria es siempre negativa. El sentido físico de este signo negativo es simple: según el teorema de la energía potencial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial. Por consiguiente, conforme la fuerza gravitatoria realiza el trabajo de acercamiento de las dos masas, la energía potencial disminuye. Si inicialmente la energía potencial era cero, forzosamente al final del desplazamiento, será negativo.

---------------------------------

• Cuando dos cuerpos se acercan, la energía potencial disminuye. El trabajo de acercamiento lo realiza la fuerza gravitatoria a costa de la energía potencial.

• Cuando separamos dos masas, hay que aplicar una fuerza exterior al sistema. Esta fuerza se emplea para aumentar la energía potencial, la cual tomará su valor máximo en el infinito.

• La energía potencial de un sistema formado por más de dos partículas se obtiene sumando las energías correspondientes a los sistemas que se pueden formar con las partículas tomadas dos a dos.

---------------------------------

Según todo lo anterior, cabe preguntarse cómo varía la energía potencial entre dos puntos cualesquiera. Lógicamente, si las posiciones de los cuerpos cambian, también lo hace la energía potencial, pero ¿de qué modo?

Supongamos que la partícula m2 se traslada del punto A al punto B. Para la variación de energía potencial, podremos escribir que:

Vemos que si rB = rA = r (constante), la partícula m2 se desplaza sobre una superficie esférica cuyo centro está en m1 y cuyo radio vale r. En este caso, la energía potencial permanece constante. Esta superficie se denomina superficie equipotencial.

Usando “el criterio del infinito” también se llega a una conclusión conocida. Para ello, en las ecuaciones anteriores basta hacer m1 = M (masa de la Tierra) y m2 = m (masa del cuerpo).

Así, cuando un cuerpo está a una distancia r del centro de la Tierra, su energía potencial es:

siendo R el radio de la Tierra.

La VARIACIÓN de energía potencial que experimenta el cuerpo al elevarlo una determinada altura h (con R > > h), puede obtenerse así: (admitiendo que si h<

Ahora podemos ver, de nuevo, que la expresión U = mgh , representa variaciones de energía potencial. Por lo tanto, sólo tiene sentido cuando se establece un nivel de referencia. Este nivel de referencia se toma arbitrariamente, pero es preciso especificarlo en cada caso.

Igualmente, la variación de energía potencial, puede ser positiva o negativa, teniendo presente las variaciones que con la altura experimenta g.