Derivadas. Optimización

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€/cm2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

En primer lugar se debe hacer un gráfico de la caja, en su forma espacial y desarrollada. Llamemos x a las dimensiones de la base e y a la altura de la caja. De acuerdo con las figuras, el volumen viene dado por V= x²·y ; por tanto, x²·y = 80. En consecuencia 0 < x < ∞ (teóricamente la base puede ser todo lo grande que se quiera cuando la altura es casi nula).

La función que se quiere minimizar es el coste. Teniendo en cuenta que la base (la zona

sombreada) cuesta 1,5·x² (1,5 €/cm² · x² cm² =1,5·x² € ) y que cada una de las caras laterales

cuesta 1·xy € y la tapa 1·x² €, el coste vendrá dado por C = 1´5·x² + 4·xy + x²

^{Como x2·y = 80 → y = 80 / x2 → C (x) = 1´5 . x 2 + 4 . x . 80/x2 + x2 = 2,5 x2 + 320/x}

Para minimizar C, calculamos su derivada C ‘ = 5x - 320/x²

Igualando a cero 5x - 320/x² = 0 --> ^{5x = 320/x2 à x3 = 64 à x = 4}

Comprobemos que en ese punto hay realmente un mínimo relativo

	(0,4)	(4,∞)
Signo de C'	C’(1) = - 11 < 0	C’(5) = 12’2 > 0
Monotonía	Decreciente	Creciente

Por tanto C crece en (0, 4) y decrece en (4, ∞) , así que tiene un mínimo relativo en x = 4.

Como y = 80/x² ---> y = 5

Por tanto, las dimensiones de la caja son x = 4 cm e y = 5 cm y la caja tendrá un coste mínimo

de 120 €.